Tirant lo Blanch - Wikipedia

Dải Mobius (mở rộng vô hạn) là một bó đường thẳng trên hình cầu 1 S ¹ . Ở mọi nơi trong S ¹ có vẻ như U × R (trong đó U là một vòng cung mở bao gồm cả điểm), nhưng tổng bó khác với S ¹ × R (thay vào đó là một hình trụ).

Trong toán học, bó vector là một cấu trúc tôpô làm cho chính xác ý tưởng về một họ các không gian vectơ được tham số hóa bởi một không gian khác X (ví dụ X có thể là không gian tôpô, đa tạp hoặc đại số đa dạng): đến mọi điểm x của không gian X chúng tôi liên kết (hoặc "đính kèm") một không gian vectơ V ( x ) theo cách mà các không gian vectơ này khớp với nhau để tạo thành một không gian khác cùng loại với X (ví dụ: một không gian tôpô, đa tạp hoặc đại số), sau đó được gọi là vecto r bó trên X .

Ví dụ đơn giản nhất là trường hợp họ không gian vectơ không đổi, tức là có một không gian vectơ cố định V sao cho V ( x ) = V cho tất cả x trong X : trong trường hợp này có một bản sao của V cho mỗi x ] trong X và các bản sao này khớp với nhau để tạo thành bó vector X × V trên X . Các bó vector như vậy được cho là tầm thường . Một lớp các ví dụ phức tạp hơn (và nguyên mẫu) là các bó tiếp tuyến của các đa tạp mịn (hoặc khác biệt): đến mỗi điểm của một đa tạp như vậy, chúng ta gắn không gian tiếp tuyến vào đa tạp tại điểm đó. Các bó tiếp tuyến không, nói chung, các bó tầm thường: ví dụ, các bó tiếp tuyến của hình cầu là không tầm thường bởi định lý bóng lông. Nói chung, một đa tạp được cho là song song khi và chỉ khi bó tiếp tuyến của nó là tầm thường.

Các bó vectơ hầu như luôn luôn được yêu cầu là tầm thường cục bộ tuy nhiên, điều đó có nghĩa là chúng là ví dụ của các bó sợi. Ngoài ra, các không gian vectơ thường được yêu cầu vượt quá số thực hoặc số phức, trong trường hợp đó, gói vectơ được gọi là bó vectơ thực hoặc phức (tương ứng). Các bó vector phức tạp có thể được xem như các bó vector thực với cấu trúc bổ sung. Sau đây, chúng tôi tập trung vào các gói vectơ thực trong danh mục không gian tôpô.

Định nghĩa và hậu quả đầu tiên [ chỉnh sửa ]

Một bó vector thực sự bao gồm:

1. không gian tôpô X ( không gian cơ sở ) và E ( tổng không gian )
2. một sự từ chối liên tục π: ] E → X ( phép chiếu bó )
3. cho mọi x trong X cấu trúc của một hữu hạn- không gian vectơ thực chiều trên sợi π ¹ ({ x })

trong đó điều kiện tương thích sau được thỏa mãn: cho mọi điểm p trong X có một khu phố mở U ⊆ X của p một số tự nhiên k và một số tự nhiên

${ displaystyle varphi colon U times mathbf {R} ^ {k} to pi ^ {- 1} (U)}$

sao cho tất cả x U ,

• ${ displaystyle ( pi Circ varphi) (x, v) = x}$ đối với tất cả các vectơ v trong R ^k và
• bản đồ ${ displaystyle v mapsto varphi (x, v)}$ là một đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian vectơ R ^k và π ¹ ({ x }) .

Vùng lân cận mở U cùng với sự đồng nhất hóa ${ displaystyle varphi}$ được gọi là [địaphương của bó vector. Sự tầm thường hóa cục bộ cho thấy cục bộ bản đồ π "trông giống như" hình chiếu của U × R ^k trên U .

Mỗi sợi π ¹ ({ x }) là một không gian vectơ thực có chiều hữu hạn và do đó có kích thước k _x . Các tầm thường hóa cục bộ cho thấy hàm x ↦ k _x là hằng số cục bộ, và do đó không đổi trên mỗi thành phần được kết nối của X . Nếu k _x bằng với hằng số k trên tất cả X thì k được gọi là của gói vectơ và E được cho là một gói vectơ có thứ hạng k . Thông thường định nghĩa của một gói vectơ bao gồm thứ hạng được xác định rõ, do đó k _x là không đổi. Các bó vectơ của hạng 1 được gọi là các bó dòng, trong khi các bó của cấp 2 thường ít được gọi là các bó mặt phẳng.

Sản phẩm của Cartesian X × R ^k được trang bị máy chiếu X × R ^{] k} → X được gọi là gói tầm thường của cấp k trên X .

Các chức năng chuyển đổi [ chỉnh sửa ]

Đưa ra một gói véc tơ E → X của cấp và và một cặp khu phố U và V mà gói này tầm thường hóa thông qua

${ displaystyle { started {căn chỉnh} varphi _ {U} colon U times mathbf { R} ^ {k} & { xrightarrow { cong}} pi ^ {- 1} (U), varphi _ {V} tràng V times mathbf {R} ^ {k} & { xrightarrow { cong}} pi ^ {- 1} (V) end {căn chỉnh}}}$

hàm tổng hợp

${ displaystyle varphi _ {U} ^ {- 1} Circ varphi _ {V} dấu hai chấm (U cap V) times mathbf { R} ^ {k} to (U cap V) times mathbf {R} ^ {k}}$